37の倍数判定
最近、素因数分解ビンゴが流行っているので、37の倍数判定を紹介します。
以下、数字は全て整数とします。
なるべく、小学生でも分かるように書いてみます。
主張1
数字を1の位から3桁ずつ区切って、それらを足した合計が37の倍数であれば、元の数字は37の倍数。
例1: 127613
127,613は37の倍数でしょうか?(分かりやすいように3桁毎にカンマを入れています)
はい、37の倍数です。
何故なら
127+613=740
740/37=20
だから、37の倍数です。
例2: 123136111
123,136,111は37の倍数でしょうか?(分かりやすいように3桁毎にカンマを入れています)
はい、37の倍数です。
何故なら123+136+111=370
370/37=10
だから、37の倍数です。
解説
下準備
(1)37の倍数から、37の倍数を足したり引いたりしても、37の倍数になる。
中学生以上向けに数式で表すと、ある数xの倍数axから、xの倍数bxを足したり引いたりすると、
ax+bx=x(a+b)
ax-bx=x(a-b)
となるので、xの倍数になることが分かりますね。
(2)37の倍数から、999の倍数を足したり引いたりしても、37の倍数になる。
37×3=111
111×9=999
つまり、999は37の倍数です。
ですので、(1)に当てはめると、(2)が正しい事が分かります。
例1: 127613
127613を以下のように分解します。
127613=1000×127+613
さらにここから、999の倍数を引き算します。
999=1000-1なので、127×999を引き算出来ます。
127613-999×127=1000×127+613-999×127
=(1000-999)×127+613
=127+613
=740=37×20
ここで、740が37の倍数なので、元の127613も37の倍数となります。
例2: 123136111
123136111を以下のように分解します。
123136111=123×1000,000+136×1000+111
さらにここから、999の倍数を引き算します。
999=1000-1なので、123×999,999+136×999を引き算出来ます。
123136111=123×1000,000+136×1000+111-123×999,999+136×999
=123×(1000,000-999,999)+136×(1000-999)+111
=123+136+111
=370=37×10
ここで、370が37の倍数なので、元の123136111も37の倍数となります。
主張2
数字を1の位から3桁ずつ区切って、それらを足した合計が37の倍数でない場合は、元の数字も37の倍数ではない。
なお、主張2についての証明は、読者への演習問題とする。
以上。
onewanでした。