黒田先生の関数解析を読む　パート２（ノルム、距離、内積）

今回は、備忘録がてら定義を列挙します。ついでに、いくつか興味深い定理を書いておきます。

”Banach空間がHilbert空間であるための必要十分条件は、ノルムに対して中線定理が成り立つことである。” なお、中線定理とは、 ${||u+v||}^2 +{||u-v||}^2 = 2 ({||u||}^2 + {||v||}^2)$ である。

ノルムの定義

線形空間 $\mathcal{X}$ の任意の $u$ に実数 $||u||$ が対応して、以下の(N.1)〜(N.4)を満たすとき、 $\mathcal{X}$ にノルムが定義されているという。

${\displaystyle \forall u, v \in X, \forall \alpha \in \mathcal{C} \\ (N.1) \ ||u|| \geq 0 \\ (N.2) \ ||u||=0 \Leftrightarrow u=0 \\ (N.3) \ ||\alpha u|| = |\alpha| \ ||u|| \\ (N.4) \ ||u+v|| \leq ||u|| + ||v|| \\ }$

距離の公理

$\mathcal{X}$ をノルム空間とする。 $u, v \in \mathcal{X}$ の距離 $d$ を $d(u,v) = ||u - v||$ と定義すれば、以下の距離の公理を満たす。

${\displaystyle \forall u, v, w \in X \\ (i) \ d(u,v) \geq 0 \\ (ii) \ d(u,v)=0 \Leftrightarrow u=v \\ (iii) \ d(u,v) = d(v,u) \\ (iv) \ d(u,w) \leq d(u,v) + d(v,w) \\ }$

内積の定義

線形空間 $\mathcal{H}$ において、

${\displaystyle \forall u, v, w \in \mathcal{H}, \forall \alpha \in \mathcal{C} \\ (H.1) \ (u,v) = \overline{(v,u)} \\ (H.2) \ (\alpha u,v)=\alpha (u,v) \\ (H.3) \ (u+v,w) = (u,w)+(v,w) \\ (H.4) \ (u,u) \geq 0 \\ (H.5) \ (u,u)=0 \Leftrightarrow u=0 }$

$H \ddot{o}lder$ （ヘルダー）の不等式

ちょっと話が飛びますけど。 $\mathcal{L}^p(\Omega)$ は1 < $p$ < $\infty , \Omega$ 上の可測関数uで、以下を満たす集合。

$||u||={||u||}_{L^p} ={( \int_\Omega {|u(x)|}^p dx )}^\frac{1}{p}$ < $\infty$

$\mathcal{L}^p (\Omega)$ からBanach空間 L^p $(\Omega)$ を作ることを考える。その際に、L^p $(\Omega )$ において三角不等式を証明する前段階で必要となる定理が $H \ddot{o}lder$ の不等式です。

1 < p < $\infty$ とし, qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ （つまり $q=\frac{p}{p-1}）$ とする。 ${\displaystyle \\ u \in \mathcal{L}^p(\Omega), v \in \mathcal{L}^q(\Omega) \Rightarrow uv \in \mathcal{L}^1 (\Omega)}$ であり

$|\int_\Omega u(x) v(x) dx| \leq {(\int_\Omega {|u(x)|}^p dx)}^\frac{1}{p} {(\int_\Omega {|v(x)|}^q dx)}^\frac{1}{q} \\ = {||u||}_{L^p} {||v||}_{L^q}$