複素関数論に関するメモ

ちょっと複素関数の復習をしているので、自分の備忘録用にメモを残します。数論入門を読むのに、複素関数論の正則関数、有理型関数、留数、解析接続が前提知識になるためです。

（定義）開円板

任意の整数 $\epsilon$ に対して、平面上の点 $z_0$ の $\epsilon$ -近傍 $\epsilon (z_0)$ を、中心が $z_0$ で半径が $\epsilon$ の開円板を以下の通り定義する。 $\epsilon (z_0) =$ { $z \in \mathbb{C} |$ $| z - z_0 |$ < $\epsilon$ }

（定義）正則関数

複素関数 ${f(z)}$ が ${z_0}$ で正則とは、 $z_0$ の適当な ${\epsilon}$ -近傍 ${\epsilon (z_0)}$ を取ると、 $f(z)$ は ${\epsilon (z_0)}$ の任意の点で微分可能なことと定義する。 $f(z)$ が複素平面上の集合 $D$ の各点で正則なとき、 $f(z)$ は $D$ において正則であるという。

（定義） $\mathbb{C^{n}}$ -級関数

関数f(x,y)が平面上の集合V上で $\mathbb{C^{n}}$ -級とは、任意の ${z_0 \in V}$ で ${\epsilon (z_0)}$ 上で、f(x,y)の n階までのすべての偏導関数が存在し、連続になること。

（定理）コーシー・リーマン方程式

複素関数 ${f(z) = u(x,y)+ i v(x,y)}$ が各点 ${z_0 = x_0 + i y_0}$ において、正則である
${\Leftrightarrow}$ ${z_0}$ の適当な ${\epsilon}$ -近傍 ${\epsilon (z_0)}$ を取ると、 ${f(z)}$ は ${\mathbb{C}^{1}}$ - 級、かつ任意の ${z' \in \epsilon (z_0)}$ で
$\displaystyle { \frac{\partial u}{\partial x} (x,y) = \frac{\partial v}{\partial y} (x,y), \frac{\partial u}{\partial y} (x,y) = - \frac{\partial v}{\partial x} (x,y) }$ を満たす事であり、 $\displaystyle { f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} (x,y) + i \frac{\partial v}{\partial y} (x,y) }$

（定理）コーシー・リーマン方程式の複素形

複素関数 ${f(z) = u(x,y)+ i v(x,y)}$ について
$\displaystyle u_x=v_y, u_y=-v_x \Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$

（定義）複素積分

連続な複素関数 ${f(z) = u(x,y) +i v(x,y)}$ と区分的に滑らかな曲線Cに対し、 ${f(z)}$ のCに沿う複素積分を
$\displaystyle { \int_C f(z) dz = \int_C u dx - v dy + i \int_C v dx + u dy}$
で定義する。単にCに沿う積分ともいう。

（公式）コーシーの積分公式

互いに交わらない有限個の単純閉曲線で囲まれた領域 $D$ に対して、 $\overline{D}$ 上の正則関数 $f(z)$ は、複素積分
$\displaystyle f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$
で表される。ただし、 $z \in D$ とする。

（公式）正則関数の $n$ 次導関数

互いに交わらない有限個の単純閉曲線で囲まれた領域 $D$ の境界 $\partial D$ 上の連続関数 $f (\zeta)$ に対して
$\displaystyle {F(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta}$
は、 $D$ 上の正則関数になり、 $F(z)$ は $D$ において何回でも微分可能で、 $n$ 次導関数 $F^{(n)}(z)$ も $D$ 上で正則になり
$\displaystyle F^{(n)}(z)=\frac{n!}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} d\zeta$
と表せる。特に、 $D$ 上の正則関数 $f(z)$ は何回でも微分可能で、その $n$ 次導関数 $f^{(n)}(z)$ は上記となる。

（定理）ローラン展開

中心が $z_0$ の閉円環領域 $\overline{A}(z_0, R_1,R_2)={R_1 \le | z- z_0| \le R_2}$ 上の正則関数 $f(z)$ は、次の形の級数展開を持ち、これを点 $z_0$ を中心とする $f(z)$ のローラン級数という。
$\displaystyle f(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty} c_n (z-z_0)^n$
また、 $R_1 \le R \le R_2$ をみたす任意の整数 $R$ に対し、各係数 $c_n$ は次式で与えられる。
$\displaystyle c_n=\frac{n!}{2 \pi i} \int_{|\zeta - z_0|=R} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta$

（定理）留数定理

ローラン展開における係数 $c_{-1}$ を $f(z)$ の $z_0$ における留数といい、 $Res(f,z_0)$ と書く。 $f(z)$ が $z_0$ で正則であれば、 $Res(f,z_0)=0$ となる。積分したときに最後まで留まるので留数という。
有限個の単純閉曲線で囲まれた領域 $D$ の閉包 $\overline{D}$ 上の有理型関数 $f(z)$ がその境界 $\partial D$ に極を持たなければ
$\displaystyle \int_{\partial D} f(z) = 2 \pi i \sum_{z \in D} Res(f,z)$
が成立する。ここで領域 $D$ ないには $f(z)$ の極は高々有限個しかないので、右辺は有限和である。