onewanのメモ帳

数式が書きたくて始めたブログ。twitter IDは @onewan

ザギヤーの数論入門を少しずつ読んでいく際のメモ

ザギヤーの数論入門が手に入ったので、ちょっとずつ読んでいきます。数論幾何は、もうちょっと後で手をだそうかな・・・。

（定義）ディリクレ級数

ディリクレ級数とは、以下の級数のことである。 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{- \lambda_n s}$
ここで、 $\lambda_n$ は実数で $\lambda_1$ < $\lambda_2$ < $\cdots , \lambda_n \rightarrow \infty$ を満たす。 $a_n$ は任意の複素数、 $s=\sigma + i t$ は複素数である。

（定義）通常ディリクレ級数

$\lambda_n = \log n$ のとき、つまり
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$
を通常ディリクレ級数とよぶ。

ディリクレ級数の収束について

under construction

ゼータ関数のオイラー積表現

$\displaystyle \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$ ( $\sigma$ > 1)

考察

・冪級数の加法的な畳み込みであるのに対して、ディリクレ級数は乗法的な畳み込みとなる。式はあとで書く

under construction !!