37の倍数判定

最近、素因数分解ビンゴが流行っているので、37の倍数判定を紹介します。

以下、数字は全て整数とします。

なるべく、小学生でも分かるように書いてみます。

主張1

数字を1の位から3桁ずつ区切って、それらを足した合計が37の倍数であれば、元の数字は37の倍数。

例1: 127613

127,613は37の倍数でしょうか？（分かりやすいように3桁毎にカンマを入れています）

はい、37の倍数です。

何故なら

127+613=740

740/37=20

だから、37の倍数です。

例2: 123136111

123,136,111は37の倍数でしょうか？（分かりやすいように3桁毎にカンマを入れています）

はい、37の倍数です。

何故なら123+136+111=370

370/37=10

だから、37の倍数です。

解説

下準備

（１）37の倍数から、37の倍数を足したり引いたりしても、37の倍数になる。

中学生以上向けに数式で表すと、ある数xの倍数axから、xの倍数bxを足したり引いたりすると、

ax+bx=x(a+b)

ax-bx=x(a-b)

となるので、xの倍数になることが分かりますね。

（２）37の倍数から、999の倍数を足したり引いたりしても、37の倍数になる。

37×3=111

111×9=999

つまり、999は37の倍数です。

ですので、（１）に当てはめると、（２）が正しい事が分かります。

例1: 127613

127613を以下のように分解します。

127613=1000×127+613

さらにここから、999の倍数を引き算します。

999=1000-1なので、127×999を引き算出来ます。

127613-999×127=1000×127+613-999×127
=(1000-999)×127+613
=127+613
=740=37×20

ここで、740が37の倍数なので、元の127613も37の倍数となります。

例2: 123136111

123136111を以下のように分解します。

123136111=123×1000,000+136×1000+111

さらにここから、999の倍数を引き算します。

999=1000-1なので、123×999,999+136×999を引き算出来ます。

123136111=123×1000,000+136×1000+111-123×999,999+136×999
=123×(1000,000-999,999)+136×(1000-999)+111
=123+136+111
=370=37×10

ここで、370が37の倍数なので、元の123136111も37の倍数となります。

主張2

数字を1の位から3桁ずつ区切って、それらを足した合計が37の倍数でない場合は、元の数字も37の倍数ではない。

なお、主張2についての証明は、読者への演習問題とする。

以上。

onewanでした。