非正則素数祭

非正則素数歳になったので、非正則素数祭を始めます。

いえーい。

さて、非正則素数とは何かから復習していきましょう。

非正則素数の定義

非正則素数について、引用文献[1]の8.11 円分体の整数環の中に説明がありました。

[1]のp293を引用させて頂きますと、以下の通りです。

$\mathbb{Q} (\zeta_p )$ の類数が $p$ で割れない素数を正則素数，割れる素数を非正則素数という．

円分体 $\mathbb{Q} (\zeta_p )$ の類数が $p$ で割れる素数を非正則素数というわけです。

何で非正則素数って言うの？

いきなり非正則素数と言われても、何が非正則（イレギュラー）なんじゃいワレェという話ですね。それについても、[1]のp289の定理を引用して考えて行きます。

$p$ を奇素数で $\mathbb{Q} (\zeta_p )$ の類数が $p$ で割れないとする．このとき，方程式 $x^{p} + y^{p} = z^{p}, xyz \neq 0$ の整数解 $(x,y,z)$ で $x,y,z$ が $p$ と互いに素であるものは存在しない．

みなさん馴染み深い方程式が出てきたと思います。世にいうフェルマーの最終定理（以下、FLT）*1です。この定理は正則素数ならば成り立つ。さらに $xyz$ が $p$ で割り切れない場合にFLTが成り立つことを示せば、正則素数についてはFLTが成立します。これはクンマーが1850年に示したそうです。*2そういう意味で、当時この定理を用いてFLTを示せていなかった素数が非正則素数ということですかね（ここらへんの解釈や表現がおかしければご指摘頂けると助かります）。

円分体 $\mathbb{Q} (\zeta_p )$ の類数を $p$ で割ってみる

それでは、円分体の類数とpを見てみましょう。

ja.wikipedia.org

円分体の類数計算大変過ぎでは！？

これを計算するのはちょっと大変過ぎます。ということで、毎度お馴染み「オンライン整数列大辞典」から値を拝借します。こいつが正の整数 $n$ と円分体 $\mathbb{Q} (\zeta_n )$ の類数の組を羅列したものです。*3

oeis.org

1から36までずっと $\mathbb{Q} (\zeta_p )$ < $p$ になっていますが、 $p = 37$ で $\mathbb{Q} (\zeta_p ) = p$ になっていますので、これが最小の非正則素数になります。

割り算祭り

ここからは楽しい算数のお時間です。

さらに見ていくと、47、、、は695を割り切れませんね。+10した705なら割り切れたのに惜しい！次の候補は53ですが、これも4889/53=92あまり13なので割り切れない。

次は59に対して41241。ここで復習ですが「整数xで整数yを割り切れるとき、任意の整数cに対して、y+cx, y-cxのいずれもxで割り切れる」ので、41241+59 = 41300と割られる数を簡単にしてやると、413=59*7なので、これは59で割れることになります。

次の61と76301ですが、これも+10すると割り切れるので惜しいですが割り切れません。

次の67と853513ですが、これも67を足して853580にします。これは、、、諦めて素直に計算すると85358/67=1274と割り切れます。

というわけで、37, 59, 67は非正則素数なわけですね。

ベルヌーイ数を用いて計算しよう

ここでは類数の計算をせずに非正則素数であるか否かを判定する方法を考えます。

[1]のp293を引用させて頂きますと、以下の通りです。

$p$ が正則素数であるかどうかは，ベルヌーイ数によって判定できることが知られている．（中略） \begin{align} m \equiv n \not \equiv 0 \mod p-1 なら \frac{B_m}{m} \equiv \frac{B_n}{n} \mod p \end{align}

クンマーは $p$ が非正則素数であることと， $p$ が $B_2 , B_4 , B_6 , \cdots B_{p-3}$ のどれかの分子を割ることが同値であることを，上の合同式を使って証明している．"