黒田先生の関数解析を読む パート1

8/20の数学カフェ予習回に向けて、黒田先生の関数解析を図書館で借りて来ました。

大学時代にひととおり勉強したけど、細かい事は忘れてしまっているので、一章からやり直そうと思います。

基本的なものだけメモを取りますので、参考になれば幸いです。

・Banach空間
ノルム空間では「収束列Cauchy列」だが、逆は一般的には成り立たない。反例はC[a,b]でノルムが積分で定義された場合のCauchy列で非連続関数に収束するもので、要するに空間内に収束しないものがある。なんとなく、ノルム空間内で収束する方が使い易そうですよね。

任意のCauchy列が収束列であるとき、そのノルム空間を完備であるという。

定義1.15: 完備なノルム空間をBanach空間という。

C[a,b]でノルムがsupで定義された場合は、Cauchy列が非連続関数に収束しないので完備となり、Banach空間となるんですねえ。これは、定義域内の関数間の差の最大値を0に押さえつける事で、関数を一様収束させられるからかな。

ところで、黒田先生の関数解析は、25年振りの貸出のようです。地下倉庫に保管されていたので、冷んやりして気持ち良かったです。

つまり、暑い日には、古い数学書を借りると良いです。

おやすみなさい。