『人と数学のあいだ』を読んで
最初に
先日販売された、東工大の数学科教授 加藤文元先生の新刊『人と数学のあいだ』を読了しましたので、読んでいて思ったことをつらつら書かせて頂きます。
本書は、文元先生と数学以外の領域の方との対談をオムニバス形式で紹介した内容となっておりました（下記発行元のトランスビューさんのページもご参照下さい）。 www.transview.co.jp
それでは、ざっくりですが感想を書いていきます。
感想
第１章 数学することは生きること 竹内薫（ サイエンス作家）
ルービックキューブと群論、接吻数と超ひも理論の話など興味深い話が盛りだくさんでした。未来の数学の姿として、圏論・トポスという言葉も出てきたので、これらの概念には一度入門したいですね。
第２章 数学と文学の交差点―すべての表現者は孤独か？ 岩井圭也（ 小説家）
岩井先生は「永遠についての証明」の中で、数学者は理論を想像するというよりも見出すのだという内容を書かれておられるそう。 数学の理論は発明か、発見かのような話題もよく見かけます。私は知財（特許）が本業なのですが、特許法における発明は、「自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のもの」（第２条第１項）という定義であって、数学の理論そのものは「自然法則を利用したもの」に該当しないので、発明とは認められません。もちろん、数学の理論を使って何かしらのハードウェアで実現したものであれば話は異なりますので誤解の無きよう。（知財の解説をすると膨大な記事になるので割愛します。）
この章でブルバキ（Bourbaki）の話が出てくるんですが、ブルバキって教科書という意味だったんですね。知らんかった。
ブルバキの話の流れで共鳴箱の理論という話題が出てきます。共鳴箱の理論というのは、優れたアイデアを持った人には、その人の出す「音色」に共鳴してくれる他者が必要だということらしいです。 これは数学に限らず、自分の考えをまとめる際に他人に聞いてもらうと整理し易いという話にも通じますね。そういえば、プログラマーには、ラバーダッキングというアヒルの人形に話しかける簡易手法があるというのを見たことがありますが、数学のゼミもこれらに似てますね。他人に分かって貰うために準備して、さらに指摘して貰うというのは学習方法としてはとても良いと思うので、他の分野でも応用出来そうだと思っています。
リウヴィルがガロアの理論を広めるに至ったのは、数学会の政敵がガロアを批判したからその反論としてガロアの理論を深く理解しようと試みたというのもあるらしいです。 人が一度にかけられる労力なんて高が知れているので、何かしらモチベーションが無いと動かないし、主流・傍流というものが出来てしまうのも、数学の世界であっても同じなんですね。
第３章 数学と脳科学―数学者の精神と脳科学の数理 上野雄文（ 精神科医・脳科学者）
数学の世界だと、物理と違って実験して正解を得るということが出来ないので、人間の頭の中での＜正しさ＞を他人と共通理解することになるという話がありました。 やはりそこは論理の客観性を追求することになるのだろう。公理系から導き出される論理的帰結がそれに該当するのだろうけれど、さらに深堀りして共通理解であることを確認するのは認知の話にもなるので、これ以上は語り辛いですね。
クロネッカーの青春の夢にもあるように、夢は数学を動かしている原動力の一つで有限な生命だからこそ人間は意志のちからがあるのかもという話がありました。 人間は、身体の構造というハードウェア的な条件がそもそも精神に影響を与えているのではないかという話をどこかで聞いた覚えがあります（東大の暦本先生か、稲見先生だった気がします）。ということは、自身の存在を錯覚させるような身体拡張もしくはxRなどを用いた状態でいろんな思考を巡らせると、新たな知見が得られるのでは？
科学的に確証にまでは至っていないけれど、頭頂葉と前頭葉が数学力と関わりがあるかも知れないという話もありました。 数学力もそうですが、人の能力や精神が脳でどのように構成されているのかを解析出来てしまったとき、どうなってしまうんでしょうね。
第４章 数学は「役に立つ」のか？ 川上量生（ 実業家）
プログラミングのコードの複雑性を表す指標として循環的複雑度というものがあり、ifやループなどの分岐や外部サブルーチンを参照するたびに１増えるという。 フローチャートを図形と見ると、確かに幾何学的に判断しているとも言えて、幾何学の知見がいろんなところで役に立つのかも知れない。
法律の条文の整合性を担保するために情報科学の手法を取り入れる考え方は「法令工学」と呼ばれて研究が進められているという。 これは法務系に関わる者として面白そうなので、どこかで見ておきたい。
人間は基本的に情報圧縮アルゴリズムだと考えられるのではないかという。 これはたしかにそうなのかも知れない。仕事をしていても、膨大な文章をやり取りするのだけれど、要点はどこにあって、論点は何かを示さないと全文を読む羽目になり、時間が浪費される。情報圧縮アルゴリズムを通した内容でやりとりして欲しい。
空間の考え方の変遷という項目が最後にありました。ここの話は、多様体、スキーム論、圏論・トポスと時代的に考え方が変わったという話でして、最後に圏論の紹介がありました。本書には詳述されていますが、なるほどという内容でした。
さいごに
本書は数学を主題として異分野との関わりを紹介する内容で、個人的にも常日頃考えている話題にも近く、200ページほどありますが、すらすら読む事ができました。皆様もこの年末年始に読まれてみてはいかがでしょうか？
離散凸解析のはなし
今年の日曜数学Advent Calendar向けの記事はMathlogで書きましたので、以下のリンクからどうぞ。
JDLA E資格を取った話
先月末に受けたディープラーニングのエンジニア向け資格 JDLA E資格に合格したので、自分がどんなテスト対策をしたのか簡単に書きたいと思います。
目次
JDLA E資格ってなに？
JDLA E資格とは、日本ディープラーニング協会(Japan Deep Learning Association)が提供するエンジニア向けの資格です。
JDLA認定プログラム
受験するには、「JDLA認定プログラムを試験日の過去2年以内に修了していること」という要件が課されています。これがなかなか曲者で、認定プログラムを受講するのに概ね数十万円が掛かります。
認定プログラムを自費で受講するのは金銭的に非常に辛い。企業にお勤めの方は、何とかして受講料を出して貰えるよう説得するのが、最初で最大の関門かも知れません。
どの講座を受けるかは、比較サイトなどを見て自分にあったものを選ぶと良いと思います。
ちなみに私は、「すうがくぶんか」さんで、以下の2講座を受講しました。
- Pythonで学ぶ機械学習入門
- Deep Learning入門
勉強方法
- 事前知識
- すうがくぶんかの講座
- 問題集
- アイシアさんの動画
- AVILENの模試
- まとめノート作成
事前知識
線形代数と情報、統計の基礎的な知識は元々あるのと、2018年に東大の松尾研のDeep Learning基礎講座を受けたり、ゼロから作るdeep learningシリーズを少し読んだりしてました。
すうがくぶんかの講座
詳しくはすうがくぶんかさんのホームページに記載されてますので、文字数の関係で割愛します。
問題集
主に問題集をやって、解説に詳しく載っていない箇所は、ネットで検索（Qiitaなど）したり、GoodFellow本などを参考にすれば概ね分かると思います。
Vtuber アイシアさんの動画
アイシアさんが、深層学習系の動画も充実させてくれていたので、非常に助かりました。 Transformerは必ず出題されるので必見です。他にもいろいろありますので、ご覧になってみてください。
AVILENの模試
これは受けておいた方が良いです。本番のテストと同様にブラウザ上で問題を解きます。 内容もさることながら、気後れしないように、同じ形式で問題を解く練習をしておくと良いと思います。 私は時間が足らなかったので解く順番の戦略を練らないといけないことが分かって助かりました。
まとめノート作成
上記の内容をすべてノート（HackMD）にまとめていました。
参考になるかはわかりませんが、文量的には数万字、リンクを張ったり、図面も付けたりしました。
HackMDも が使えるので数式を書くのに便利でした。
おわりに
JDLA E資格はエンジニア向けの資格なので、Pythonでの実装方法や環境構築の話なども試験範囲なので、普段は仕事でプログラミングを一切行わない非エンジニアの身としては、少々辛いところもありましたが、何とか合格出来てほっとしています。
ここ１年ほど薄く長くですが一定の時間を割いていた深層学習の学習が一段落したので、積み上げている他の勉強にシフトしたいと思います。
それでは、おやすみなさい。
素数の因数分解
先日、第20回 日曜数学会（2021年1月24日）で「素数の因数分解」と題して発表させて頂きました。
www.slideshare.net
この発表は、一年前の第17回 日曜数学会で発表した「３の素因数分解」の続きのネタになります。
実は、この第17回 日曜数学会の後にtsujimotterさんからオイラーの素数生成多項式の話などを聞いて2次体に興味を持ち、「素数と2次体の整数論」を勉強する会である「ゆるにじたい」を始めたのでした。 www.kyoritsu-pub.co.jp
twitter.com昨年の発表を契機に1年間毎週続けてきた #ゆるにじたい 。
— onewan (わんわん) (@ONEWAN) 2021年1月22日
前回の発表に、その知見を加えて拡大させた発表を行う予定です。 https://t.co/LKOlXb9kIp
ゆるにじたいは、この書籍の行間を埋め、誤りを正し、楽しい四方山話も交えつつ、１年間ほぼ毎週水曜日に３時間のペースで進めてきました。
210ページあった本も残すところ10ページほどとなり、嬉しい反面、寂しい気持ちがありますね。
サイモン・シンの「フェルマーの最終定理」
この記事は、「日曜数学Advent Calendar 2020」の11日目の記事です。
昨日10日目の記事はtriprodさんの「アイゼンシュタインによる平方剰余相互法則の証明について」でした。
はじめに
表題のとおり、サイモン・シン（Simon Singh）著の「フェルマーの最終定理」を読んだのでその紹介をしたいと思います。
フェルマーの最終定理
フェルマーの最終定理とは、フェルマーがディオファントスの「算術」の余白に記した以下の予想*1を指します。
を満たす正の整数の組(X,Y,Z)は存在しない。
ここに書かれている主張は極めて単純明快で、中学生でも理解できます。しかしながら、この問題が約３５０年もの間誰にも解かれず、現代数学の粋を集めて1994年にアンドリュー・ワイルズによって証明されました。
この本を読んだ理由
私がフェルマーの最終定理を知ったのは中学の頃でした。学校の図書室できまぐれに手に取った数学読み物系の書籍で出会いました*2。
その本には、ギリシアの三大作図問題（円積問題、立方体倍積問題、角の三等分問題）と共にフェルマーの最終定理が載っており、前者は定規とコンパスで作図できないということが書いてあり、後者は350年ものあいだ誰にも証明されていないと書いてありました*3。実は驚くべきことに、350年解かれていなかったフェルマーの最終定理は、この本を読んだ時点でアンドリュー・ワイルズ（Andrew John Wiles）によって証明されていたのです。
その後、いつのタイミングかは覚えていませんが、サイモン・シンの「フェルマーの最終定理」が日本語で出版されていることは知っていましたが、ずっと読むタイミングを逸していました。ちなみに、上述のフェルマーの最終定理を知った丁度その年にイギリスで原著が出版されていたということを最近になって知りました*4。
月日は流れ、最近になってまたフェルマーの最終定理に触れる機会がありました。それは加藤文元先生が講師を務められた「ロマ数ゼミ フェルマーの最終定理の風景」です。 romanticmathnight.org
このロマ数ゼミでは、具体的な数学の解説と、証明のover viewをご講義いただきました。この中で、「谷山・志村予想」を解決することでフェルマーの最終定理が示されてたことを知りました。「谷山・志村予想」とは、「すべての上の楕円曲線はモジュラーである」ということです。ここで、
上の楕円曲線というものが出てくる訳です。
ここで上の楕円曲線というものに俄然興味が沸いてきました。
その後、さらに「ロマ数トレラン 楕円曲線入門」というゼミ形式のセミナーが立ち上がり、参加することにしました。 romanticmathnight.org
こちらは、Silverman and Tateの楕円曲線論入門をゼミ形式で進めるというもので、かなり具体的に計算をすることで、楕円曲線について知ることが出来ました。
余談ですが、このゼミの中で、３次曲線に対して、有限位数の有理点をすべて求めるという問題が当該書籍の2.12にあるのですが、手計算するとべらぼうな計算量になるので、Pythonプログラムを作ってみました。
github.com
例えば、の有理点を求めたければ、"0 4 0"と入力すると以下のような出力を得られます。
上記のような理由で、フェルマーの最終定理の証明を理解したくて、代数学の基礎から勉強しているのですが、もう一度、フェルマーの最終定理に至った歴史を振り返りたいと思ったので、最近敬遠しがちだった数学読み物も読んでみようと思い、表題のとおりサイモン・シンの「フェルマーの最終定理」を読むことにしました。
サイモン・シンの「フェルマーの最終定理」
概要
本書を読む前は、フェルマーの最終定理が解かれるまでの経緯だけを詰め込んだものだと勝手に思っていたのですが、そんなことはなくて、なぜこの問題を考えるのか、どのようなモチベーションがあるのかを説明するために、数学の歴史を説明してくれています。すなわち、ピタゴラスの時代までさかのぼり、さらにフェルマーがこの予想を残すまでと、それを解くために様々な人がチャレンジしては新しい数学を生み出して行った様子が分かりやすく叙述されています。
本書は、約350年間誰にも解かれていなかった予想を1994年にアンドリュー・ワイルズが証明したことで、BBCテレビのドキュメンタリー番組『ホライズン』で特集されることになったことがきっかけで、サイモン・シンが番組制作の過程で知り得たことと、会話と、フェルマーの最終定理が解かれるまでの様々な歴史を本にまとめたというものになっています。
本書の流れとしては大まかに以下のとおりでした。 ①冒頭部：著者がワイルズにインタビューを行う様子が描かれている。 ②背景：フェルマーの最終定理が生まれるまでの数学の歴史を数学の創成期から紹介している。 ③本論：フェルマーの最終定理自身の話。谷山・志村予想を解決出来ればフェルマーの最終定理が解決するという辺りの話。 ④エピローグ：フェルマーの最終定理以外の未解決問題の紹介や、数論以外の数学の話を紹介している。
おもしろかったところ
数学のかなり多くの分野の話題に触れているので、まったく数学に親しくない人でも色んなことを知ることが出来る特盛の書籍になっています。たとえば、ドイツの暗号機エニグマ、ゲーデルの不完全性定理、四彩色問題などです。 文量が多く、面白い箇所が多すぎるので、ここからは列挙形式で書いていきます。ここで、””に囲まれた部分は新潮社「フェルマーの最終定理」（新潮社、著：サイモン・シン、訳：青木薫）から引用した文章であることを表しています。
”ピュタゴラスは、生徒のピュタゴラスが授業に出るたびにオボロース銀貨を三枚与えた”
生徒の名前ピュタゴラスというのは、まあ置いといて、話を聞いてもらうためにお金を払ったというのは、なんだか日曜数学会の講演者がお金を払って講演を聞いて貰っている構図に似ているなあと思ったり。関西日曜数学友の会でも、先に講演者枠が埋まるので、数学好きは昔からお金を払って話を聞いて貰っていた訳です。2600年もの歴史がある由緒正しい方法だったと言ったら言い過ぎですかね。
”フェルマーが特定の数学者から影響を受けたという記録はない。そのかわりに彼を導いたのが『算術』だった。『算術』はディオファントスの時代のままに、問題とその解法を通して数論を語ろうとしていた。”
このディオファントスの『算術』のフランス人のバシェによるラテン語訳に余白が多く、その余白を利用してフェルマーは様々なコメントを書いていたという。それは確かにフェルマーの最終定理の証明を書くには余白が小さ過ぎるというものですね。この本を読んで、ますます『算術』を読んでみたくなりました。どこかにフェルマー追記版の『算術』の写しがあれば、コレクションとして欲しいですね。
”E・T・ベルは『最後の問題』のなかで、「おそらく文明はフェルマーの最終定理が解かれる前に滅びるだろう」と書いた"
なんとか滅びる前に解けましたね。良かった良かった。
"『悪魔とサイモン・フラッグ』のなかで、悪魔はサイモン・フラッグに問題を出すように言う。二十四時間以内にそれに答えることができたら、悪魔はサイモンの魂をもらう。答えられなければ、悪魔がサイモンに十万ドルを支払うというのだ。そこでサイモンが出したのがこの問題だった。"
未解決問題を悪魔にぶつけるというのは良いアイデアですね。さらに、この後の悪魔の捨て台詞が数学用語だらけで実におもしろいので、機会があれば、この作品自体も読んでみたいです。
"虚数という概念は、現実世界にはなかなか対応物を見つけることができない。十七世紀ドイツの数学者ゴットフリート・ライプニッツは、そんな虚数の奇妙な性質をいとも優美に表現した。「虚数とは、神なる聖霊の頼もしき拠り所にして、存在と非存在の相半ばするものなり」"
１７世紀にも虚数の対応物を求めるような話があって、400年くらい経ったのに、まだ同じような話題があるというのも面白いですね。ライプニッツみたいに、神なる聖霊の拠り所という解釈にしてしまうのも一つの手なんですかね。知らんけど。
"画家や詩人の作るパターンが美しいように、数学者の作るパターンも美しくなければならない。色や言葉と同様に、数学の概念は調和していなければならない。美こそは第一の試金石である。醜い数学に永住の地はない。 G.H.ハーディ"
ラマヌジャンを見出したハーディ。こういう言を残していたとは知らなかったけれど、自分も気持ち的にはこういう感覚で数学を見てるなあと思う。
"一見すると関係のなさそうなテーマ同士が結びつくことは、どんな学問分野においてもそうであるように、数学においても建設的な意義を持っている。"
数学以外の分野で、元々別々に考えられていた電気と磁気が実は深く関係するということが後に分かったという話が書いてあり、そういう説明をすれば異なるテーマ同士が結びつく重要性を分かり易く説明できるのだなあと感心しました。
おわりに
つらつらと面白かった箇所を書いていきましたが、まだまだ面白い話はこの程度ではないし、あまり一般的には理解されにくい「数学を勉強する・研究する」ことのモチベーションを、さまざまな分野の数学を交え、歴史を紐解きながら解説してくれる数学読み物だと思います。
この本は、普段、数学と関わりのない人にも十二分に楽しんで読んで貰える本だと確信しています。ぜひ、周りの方にもおすすめしてみてください。
ここまで読んで頂いた方、ありがとうございました。
それでは、おやすみなさい。
*1:フェルマーは、「証明を思いついたがそれを書くには余白が小さ過ぎる」とだけ書き残していたため、フェルマー自身が証明したものではないし、おそらく証明出来ていなかっただろうということで、定理ではなくフェルマー予想と言った方が良いという説があります。
*2:私は本を全く読まないタイプの子供だったので、ものすごい偶然でした。
*3:この本の題名は覚えていないので、心当たりのある方はご教示いただけると幸いです。
*4:こちらがサイモン・シンの原著「FERMAT'S LAST THEOREM」です。https://simonsingh.net/books/fermats-last-theorem/the-book/
非正則素数祭
非正則素数祭
いえーい。
さて、非正則素数とは何かから復習していきましょう。
非正則素数の定義
非正則素数について、引用文献[1]の8.11 円分体の整数環の中に説明がありました。
[1]のp293を引用させて頂きますと、以下の通りです。
何で非正則素数って言うの？
いきなり非正則素数と言われても、何が非正則（イレギュラー）なんじゃいワレェという話ですね。 それについても、[1]のp289の定理を引用して考えて行きます。
を奇素数で
の類数が
で割れないとする．このとき，方程式
の整数解
で
が
みなさん馴染み深い方程式が出てきたと思います。世にいうフェルマーの最終定理（以下、FLT）*1です。この定理は正則素数ならば成り立つ。さらにが
で割り切れない場合にFLTが成り立つことを示せば、正則素数についてはFLTが成立します。これはクンマーが1850年に示したそうです。*2そういう意味で、当時この定理を用いてFLTを示せていなかった素数が非正則素数ということですかね（ここらへんの解釈や表現がおかしければご指摘頂けると助かります）。
円分体 の類数を で割ってみる
それでは、円分体の類数とpを見てみましょう。
円分体の類数計算大変過ぎでは！？
これを計算するのはちょっと大変過ぎます。ということで、毎度お馴染み「オンライン整数列大辞典」から値を拝借します。こいつが正の整数と円分体
の類数の組を羅列したものです。*3
1から36までずっと<
になっていますが、
で
になっていますので、これが最小の非正則素数になります。
割り算祭り
ここからは楽しい算数のお時間です。
さらに見ていくと、47、、、は695を割り切れませんね。+10した705なら割り切れたのに惜しい！次の候補は53ですが、これも4889/53=92あまり13なので割り切れない。
次は59に対して41241。ここで復習ですが「整数xで整数yを割り切れるとき、任意の整数cに対して、y+cx, y-cxのいずれもxで割り切れる」ので、41241+59 = 41300と割られる数を簡単にしてやると、413=59*7なので、これは59で割れることになります。
次の61と76301ですが、これも+10すると割り切れるので惜しいですが割り切れません。
次の67と853513ですが、これも67を足して853580にします。これは、、、諦めて素直に計算すると85358/67=1274と割り切れます。
というわけで、37, 59, 67は非正則素数なわけですね。
ベルヌーイ数を用いて計算しよう
ここでは類数の計算をせずに非正則素数であるか否かを判定する方法を考えます。
[1]のp293を引用させて頂きますと、以下の通りです。
クンマーは
のどれかの分子を割ることが同値であることを，上の合同式を使って証明している．"
ベルヌーイ数に関しては、以下のように漸化式で書けるので、類数を計算するよりは簡単に求まります。ここでは二項係数を表しています。
いや、いうて大変やん
ということで、またもや「オンライン整数列大辞典」からベルヌーイ数の分子の値を拝借します。
今度はこいつらを素因数分解してやります。
手計算でやっても良いんですが、ここはPythonでサクッと計算しました。
37がなかなか出てこない！までに出てくる必要があるのだが、かろうじて
の分子で出てくる。結構ぎりぎりですね。この方法で最初に見つかる非正則素数を見てみると、5は
までに出て来ていないのでダメで、なんと691なんですね。
祭りのあと
今日は非正則素数歳になったということで、非正則素数について調べてみました。
非正則素数については、日曜数学者のtsujimotterさんがブログで取り上げていらっしゃるので、そちらもご覧ください。
なんと、非正則素数かどうかを判定するツールも提供されています。便利。
なお、私の年齢については明記いたしません。691歳ではないことだけは確かです。
おやすみなさい。
引用文献
[1] 整数論１初等整数論からp進数へ , 雪江明彦 著, 日本評論社 www.nippyo.co.jp
*1:[1]ではフェルマー予想（テイラー‐ワイルスの定理）と記載されています。フェルマーは証明を与えていないので、あくまで予想ということですね。
*2:Regular prime - Wikipedia 参照
*3:ちなみに、素数だけに限定した数列はこちら A055513 - OEIS
